В работе представлены новые, ранее неизвестные математике функции. Даны определения этих функций, а также некоторые соотношения, формулы обращения, частные значения, производные, неопределённые интегралы, уникальные графики функций. Показано применение функций в теории распределения простых чисел.Представлены новые формулы для числа простых чисел, а также для разложения e^x.Обсуждаются некоторые формулы Рамануджана, а также значение квадратного корня из отрицательной единицы. Для всех, кто интересуется математикой: от школьников до преподавателей вузов.