Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В — Р + Г — 2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение % = В — Р+ Г может принимать совсем другие значения. Приняв значение х за численную характеристику поверхности, мы получаем её первый топологический инвариант: он позволяет доказать, например, что тор не эквивалентен кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна не удаётся: нужен другой инвариант, выражающий ориентируемость поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику х с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей. 1-е изд. —2003 год.